5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大?

这道题怎么做,取决于我们如何从数学的角度理解题干中这句话:

“他们的原则是先求保命,再去多杀人”。

我的理解是:

  1. 每个人采取方案,使得剩下的人在采取最佳方案的时候,自己的存活概率最大;
  2. 如果有多种方案使得自己的存活概率最大且相同,则采取杀死人最多的方案;

假设我的理解正确,那么,这道题将会有一个可怕的答案。

定义:5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大? 为第 5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大? 个人取走的绿豆数,而 5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大? 为前 5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大? 个人取走的总绿豆数

引理 1

当 5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大? 个人 (5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大?) 取过绿豆时,如果被取走的绿豆数满足 5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大?

则第 5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大? 个人应该取5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大?颗绿豆。

证明:

这个方案,可以确保自己不死,同时剩下未取豆子的人死亡概率最大。

其中:

  • 5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大? 是确保剩下的人至少有一颗绿豆可选,且自己至少取了 2 颗;
  • 5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大? 是确保自己取的绿豆数至少比前面取的最多的人少 1 ;

由于 5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大?, 有5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大?,这不仅保证了自己取的豆子数不是最多的,并且其他人不可能都取到那么多,所以自己必然存活;

  • 如果 5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大?,他在确保自己存活的情况下,使得剩下的豆子数最少,这样可以杀更多的人;
  • 如果5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大?,他在确保自己存活的情况下,剩下的人每个人只能取 1 颗豆子,确保杀死剩下的所有人;

推论1:如果第 1 个人想要存活,那么他取的豆子数不能超过 20 颗,否则,后面的人只要采取引理1 的方案,将保证自己存活,且此时第 1 个人会因为取的绿豆数最多而死亡,而最后 1~3 个人(根据第 1 个人取的绿豆数)会因为自己取的豆子数最少而死亡;

引理 2:当 5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大? 时,若 5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大?,则第5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大?个人应该取5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大?颗绿豆来确保自己的存活概率最高

(其中,5 个囚犯抓绿豆,抓了最多和最少的会死,谁的生存几率最大?是均值的四舍五入)

因为当且仅当在这种情况下,只要前面的人取的绿豆数的最大最小值之差不小于 2,自己就确保能存活(否则存活范围会变窄)

* 对于第 5 个人,这个条件可能不成立,比如见到前面四个人取了 62 颗, 可能是 14+16+16+16,也可能是 15+15+15+17,所以他无论取 15 颗还是 16 颗都有机会但不能确保自己存活。

而所有人取绿豆的最大最小值的差不大于 1,所有人都得死;

引理3: 当大家都极度自私的情况下,前 2 个人没有存活的可能

这是因为由引理2,如果第 3~5 个人都会采取对他们而言存活概率的方案,如果第 2 个人和第 1 个人取的绿豆数差超过 1 个,那前两个人就包揽了最大最小值,必须死,如果差不超过1,则所有人都得死;

既然第 1 个人没有存活概率,那他的目标就很耐人寻味了:

如果自己没有存活概率——

选择1:杀死尽可能多的人

选择2:尽可能拯救更多的人

按照我的假设,应该是前者。

既然第 1 个人没有存活概率,不妨让大家都死得干净些——取走 96 颗绿豆!

但如果,第 1 个人有点恻隐之心,做出了选择 2:

那,他会取走 21~33 的豆子数,根据 引理1, 第 2~4 个人会存活;

所以,本题根据对题意的不同理解,有两解:

  • 所有人都死亡;
  • 第 2~4 个人存活;

而对于第 1 个囚犯,他将面临一个哲学难题:

如果自己不可能活下去,你会选择让别人陪葬,还是让其他人好好活下去?

如果是你,会怎么选择呢?

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