爬山也不过是一步一步往上爬的事情，为什么不是所有人都能爬上珠峰呢？
因为过程太长了啊，因为你会累啊；反映在数学上也是一样啊，你需要很多的基础知识作为铺垫——其实学习数学专业的基础知识之前你还要学习“更基础的知识”，在我们看来，“实变函数学十遍，泛函分析心犯寒”是吧，这些通通是基础知识；高中数学那些是常识，不算爬山的过程，只能算走平路。然后有些地方的证明用到一个技巧，你想不通，就好比爬山的时候有些路段非常陡峭、比较难走一样，有些人能走，有些人就不能走，虽然原则上这里是有一条路的（原则上已经被证明的数学定理都是可以被理解的）。
我索性举个例子好了：
Bonnet-Myers 定理：如果一个完备无边黎曼流形的 Ricci 曲率大于等于(n-1)k>0，那么它的直径小于等于
。特别地，它是紧的。再特别地，它的基本群为有限群。
非数学系的同学是不是有种不知所云的感觉？我可以告诉大家，这个经典结论对于数学系学几何的同学来说，是基础知识。如果以后碰见有谁说自己是学几何的，你可以考虑拿这个定理来检验他 / 她有没有撒谎。那么，看懂这个定理，需要哪些“更基础的知识”呢?你需要知道什么叫做黎曼流形；而为了知道这个，你要学过基本的拓扑学，你要知道怎么定义微分流形，你还要知道度量空间的完备性，“拓扑学”“流形理论”，这已经可以开两门课了；当然，Ricci 曲率显然需要你学过线性代数，而且得是涉及张量运算的多重线性代数；微积分自然也是要懂的，毕竟曲率是通过协变导数来定义的。有了这些基础知识以后，你就可以开始学习 黎曼几何 课程，在学习过程中你就会碰到并开始理解上述定理。
至于证明的话，涉及到一个叫“第二变分公式”的东西，听起来很玄乎是不是?其实就是对泛函求二阶导数。。你自己要想到证明可能有点难度，但是在学过这些基础知识以后应该能看懂证明。
至于后面两个“特别地”，都不难；第一个无非利用了“完备且完全有界的度量空间是紧空间”，第二个无非是要考虑一下万有覆盖，然后证明万有覆盖也是紧的。这两个“特别地”就属于其他人答案里提到的“显然”“易证”，对于专门学几何的人来说，这就是常识。